Практикум із розв’язування фізичних задач № 3 (§ 12-13). Механіка

Зверніть увагу! Розглянуті нижче типи задач розв’язуються за допомогою кінематичних формул руху тіл у однорідному полі тяжіння Землі (без урахування опору повітря). Поле тяжіння вважаємо однорідним за умови, що рух відбувається на малих висотах.

Записуючи рівняння залежності фізичних величин від часу через проекції відповідних величин на координатну вісь, необхідно враховувати знак проекції.

Рух тіла, кинутого вертикально вгору до максимальної висоти підйому, є рівносповільненим, донизу — рівноприскореним, без початкової швидкості. Час підйому дорівнює часу падіння (мал. 1).

Мал. 1. Рух тіла кинутого вертикально

З певної висоти тіло можуть кидати вниз, надаючи йому деякої початкової швидкості, а можуть відпускати — тоді тіло падає без початкової швидкості (v₀ = 0) (вільно падаюче тіло).

Оскільки вільне падіння і рух тіла, кинутого вертикально вгору, є рівноприскореними, то всі кінематичні рівняння такого руху, розглянуті раніше, справедливі й для цих випадків. Запишемо їх до порівняльної таблиці, обравши для запису вісь ΟΥ та врахувавши, що прискоренню а відповідає g, а переміщенню s — висота h. Тож, врахувавши знаки проекцій, одержимо вирази, наведені в таблиці,

Кінематичні рівняння

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Визначити глибину колодязя, якщо вільно кинутий у нього камінь досяг поверхні води за 2 с. Яку швидкість матиме цей камінь у момент зіткнення з поверхнею води?

Задача 2. Тіло кинуто вертикально вгору зі швидкістю 20 м/с. Визначити висоту та час його підйому. Опором повітря знехтувати.

Мал. 2. Рух тіла кинутого під кутом до горизонту (а) та горизонтально (б)

РУХ ТІЛА, КИНУТОГО ГОРИЗОНТАЛЬНО З ВИСОТИ Н. Це окремий випадок руху тіла, кинутого під кутом до горизонту (α = 0) з деякої висоти Н. Це криволінійний рух уздовж гілки параболи під дією земного тяжіння. У вертикальному напрямі вздовж вісі ΟΥ відбувається вільне падіння, у горизонтальному напрямі вздовж вісі ОХ — рівномірний рух (див. мал. 2, б).

Задача 3. Літак летить горизонтально зі швидкістю 720 км/год на висоті 245 м. Коли він пролітає над деякою точкою поверхні Землі, з нього скидають вантаж. На якій відстані від місця кидання вантаж упаде на Землю? Опір повітря не враховувати.

Розглянемо детальніше рух тіла під дією сили всесвітнього тяжіння.

Задача 4. Середня висота супутника над поверхнею Землі дорівнює 1700 км. Визначити його швидкість та період обертання, якщо радіус Землі дорівнює 6370 км.

Задача 5. Літак виконує петлю Нестерова («мертву петлю») радіусом R = 800 м і рухається по ній зі швидкістю v = 720 км/год. З якою вагою пілот масою 70 кг тиснутиме на сидіння літака у верхній і нижній точках петлі?

Задачі для самостійного розв’язування

1(с). У скільки разів зменшиться сила притягання до Землі космічної ракети при її віддаленні від поверхні Землі на відстань, що дорівнює радіусу Землі?

2(с). З літака, який летить в горизонтальному напрямку зі швидкістю 720 км/год, на висоті 3920 м над землею скинули вантаж. Як далеко від місця викидання вантаж впаде на землю?

3(с). Як зміняться час і дальність польоту тіла, кинутого горизонтально з певної висоти, якщо швидкість кидання збільшити вдвічі?

4(с). Камінь падав на дно ущелини 4 с. Яка глибина ущелини?

5(с). На яку максимальну висоту підніметься тіло, кинуте вгору з початковою швидкістю 44 м/с? Скільки часу триватиме підйом тіла до максимальної висоти?

6(с). М’яч кинули під кутом 30° до горизонту з початковою швидкістю 10 м/с. Визначте висоту підйому та дальність польоту м’яча.

7(д). В якій точці прямої, що з’єднує центри Землі та Місяця, тіло буде притягуватися до Землі і до Місяця з однаковими силами? Вважайте, що середня відстань між центрами Землі та місяця дорівнює 60 земним радіусам, а маса Місяця у 81 раз менша за масу Землі.

8(д). Визначте прискорення вільного падіння на поверхні Венери, якщо середня густина речовини планети 5200 кг/м 3 , радіус планети 6100 км.

9(д). Місяць обертається навколо Землі зі швидкістю 1 км/с. Середня відстань від Землі до Місяця 3,8 • 10 5 км. Визначте масу Землі.

10(д). Яку швидкість повинен мати штучний супутник Землі, щоб обертатися по коловій орбіті на висоті 600 км над поверхнею Землі? Чому дорівнює період його обертання? Радіус Землі прийняти в 6400 км.

11(д). Автомобіль масою 2 т рухається зі швидкістю 36 км/год. Визначте вагу автомобіля, коли він проходить по випуклому мосту, з радіусом кривизни 40 м.

12(д). Стріла, випущена з лука вертикально вгору, впала на землю через 6 с. Які початкова швидкість стріли і максимальна висота її підйому?

13(д). Тіло, яке вільно падає без початкової швидкості, за останню секунду руху проходить 2/3 усього шляху. Визначте шлях, пройдений тілом під час падіння.

14(д). Хлопчик кинув м’яч з вікна горизонтально (з 20-метрової висоти багатоповерхівки). Скільки часу летів м’яч до землі і з якою швидкістю його було кинуто, якщо він упав на відстані 6 м від фундаменту будинку?

15(д). Дальність польоту тіла, кинутого в горизонтальному напрямі зі швидкістю 10 м/с, дорівнює висоті кидання. З якої висоти кинуто тіло?

16(д). Хлопчик стрибає у воду з крутого берега заввишки 5 м, маючи після розгону горизонтально напрямлену швидкість 6 м/с. Якими будуть модуль і напрям швидкості хлопчика у той час, коли він досягне води?

17(д). Снаряд, що вилетів з гармати під кутом до горизонту, перебував у польоті 12 с. Якої найбільшої висоти він досяг?

18(в). Визначте висоту підняття і дальність польоту сигнальної ракети, випущеної зі швидкістю 40 м/с під кутом 60° до горизонту.

19(в). На малюнку, зробленому за стробоскопічною фотографією, зображено політ кульки, випущеної з дитячого пружинного пістолета. Знаючи, що сторона квадрата клітинки дорівнює 5 см, визначте: а) час польоту кульки; б) інтервал між спалахами; в) початкову швидкість кульки.

20(в). Тіло вільно падає зі стану спокою з висоти 39,2 м. За який час тіло пройде: а) перший метр свого шляху, б) останній метр свого шляху? Чому дорівнює середня швидкість на другій половині шляху?

21(в). Тіло вільно падає з висоти 80 м. Яке його переміщення за останню секунду падіння?

Практикум із розв’язування фізичних задач № 1 (§ 3-8). Механіка

Розв’язування фізичних задач здійснюється в декілька етапів: аналіз умови та її наочна інтерпретація у вигляді схеми, рисунка, графіка або креслення; складання рівнянь, що пов’язують фізичні величини, які кількісно характеризують досліджуване явище; розв’язування системи рівнянь відносно шуканої величини; аналіз вірогідності отриманого результату. Задачі, незалежно від способу подання даних, слід розв’язувати в загальному вигляді.

У процесі розв’язування фізичних задач із кінематики рекомендовано використовувати такий алгоритм:

1. Проаналізувати умову задачі та накреслити схему, на якій вказати траєкторію руху тіла, вектори швидкості й прискорення у визначені моменти часу.

2. Вибрати систему відліку. Початок координат зручно розміщувати в початковій точці руху, а осі ОХ і OY (або одну з них, якщо рух прямолінійний) направляти у напрямку початкового руху тіл.

3. Відобразити координати рухомого тіла у визначені моменти часу й спроектувати вектори швидкостей і прискорень на осі ОХ і OY, які зручно направляти так, щоб з метою спрощення рівнянь якнайбільше проекцій векторів дорівнювали нулю.

4. Встановити зв’язок між фізичними величинами, позначеними на схемі, з використанням кінематичних формул для координат і проекцій швидкостей та записати додаткові умови задачі.

Вивчаючи відносний рух двох або кількох тіл, систему відліку зручно пов’язувати з одним з них, приймаючи його за тіло відліку, і розглядати переміщення, швидкості й прискорення відносно нього.

Приклади розв’язування задач

Задача 1. Велосипедист виїхав з одного міста в інше. Першу половину шляху він проїхав із швидкістю v₁ = 12 км/год. Другу — v₂ = 6 км/год, а потім до місця призначення йшов пішки із швидкістю v₃ = 4 км/год. Визначити середню швидкість велосипедиста на всьому шляху.

Задача 2. Від буксира, що рухається проти течії річки, відірвався човен. У той момент, коли на буксирі помітили човен, він перебував від нього на відстані s₀. З буксира швидко спустили катер, який доплив до човна й повернувся назад. Скільки часу зайняла поїздка і яку відстань катер подолав в один й інший бік, якщо швидкості катера й буксира відносно води становлять відповідно v₁ і v₂?

Задача 3. Визначити доцентрове прискорення точок земної поверхні на екваторі, на широті 45° і на полюсі, викликане добовим обертанням Землі.

Задача 4. Автомобіль розпочинає рух із стану спокою й долає перший кілометр із прискоренням a₁, а другий — а₂. На першому кілометрі його швидкість зростає на 10 м/с, а на другому — 5 м/с. Визначте прискорення автомобіля на кожній ділянці шляху.

Задача 5. Рух автомобіля по шосе описується рівнянням х = 3t – 4t 2 . Побудувати графік залежності швидкості і прискорення від часу.

Задачі для самостійного розв’язання

1(с). Із двох пунктів А і В, розташованих на відстані 90 м один від одного, одночасно в одному напрямку почали рухатися два тіла. Тіло, що рухається із пункту А, має швидкість 5 м/с, а із пункту В — 2 м/с. Через який час перше тіло наздожене друге? Яке переміщення здійснить кожне тіло? Завдання розв’язати аналітично й графічно.

2(с). За графіком переміщення (мал. 1) побудувати графік швидкості й визначити характер руху тіла відносно осі ОХ.

3(с). Один автомобіль, рухаючись рівномірно із швидкістю 12 м/с протягом 10 с, здійснив таке ж переміщення, що й інший, за 15 с. Яка швидкість другого автомобіля?

4(с). Турист вийшов з пункту, розташованого в 2 км до сходу й в 1 км до півночі від перехрестя доріг, і за 1 год пройшов 5 км до сходу під кутом 135°. Визначте кінцеве положення туриста.

5(с). Користуючись прямокутною системою координат, зобразити вектор переміщення, спрямований під кутом 45° на північний схід від точки, розташованої в 1 км до сходу й у 2 км до півночі від розвилки доріг. Знайдіть координати кінця вектора переміщення, якщо його модуль дорівнює 25 км.

6(с). Тіло перемістилося з точки з координатами х₀ = 1 м и у₀ = 4 м у точку з координатами х₁ = 5 м и y₁ = 1 м. Знайдіть модуль вектора переміщення тіла і його проекції на осі координат.

7(с). Визначте за графіком характер руху тіла (мал. 2).

8(с). За графіком переміщення (мал. 3) накресліть графік швидкості.

9(д). Першу половину шляху автомобіль рухається із швидкістю 80 км/год, а другу — 40 км/ч. Знайдіть середню швидкість руху автомобіля.

10(д). Потяг протягом 10 с збільшив швидкість із 36 до 54 км/год. Протягом наступних 0,3 хв він рухався рівномірно. Визначте переміщення й середню швидкість потяга. Побудуйте графіки швидкості й переміщення.

11(д). Швидкість тіла виражається формулою v = 2,5 + 0,2t. Знайдіть переміщення тіла через 20 с після початку руху.

12(д). Потяг, що рухається горизонтальною ділянкою шляху із швидкістю 36 км/год, прискорюється і долає 600 м, збільшуючи швидкість до 45 км/год. Визначте прискорення й час прискореного руху.

13(д). В одному напрямку з однієї точки одночасно рухаються два тіла: одне рівномірно із швидкістю 98 м/с, друге — рівноприскорено без початкової швидкості з прискоренням 980 см/с 2 . Через який час друге тіло наздожене перше?

14(д). За другу секунду руху автомобіль долає 1,2 м. З яким прискоренням він рухається? Визначте його переміщення за десяту секунду руху.

15(д). Рівняння руху тіла має такий вигляд:. Визначте прискорення й початкову швидкість тіла.

16(д). Потяг відійшов від станції із прискоренням 20 см/с 2 . Набувши швидкості 37 км/год, він рухається рівномірно протягом 2 хв, потім, загальмувавши, долає ще 100 м до зупинки. Знайдіть середню швидкість потяга. Побудуйте графік швидкості.

17. Першу половину часу автомобіль рухається із швидкістю 80 км/год, а другу — 40 км/год. Визначте середню швидкість автомобіля.

18(д). Тіло рухається прямолінійно. На відстані 1 км від початкового положення воно зупиняється, а потім у протилежному напрямку долає 1,2 км до повної зупинки. Яке переміщення й пройдений шлях здійснило тіло?

19(д). Автомобіль, рухаючись рівноприскорено, долає суміжні ділянки шляху довжиною 100 м кожна за 5 і 3,5 с. Визначте прискорення й середню швидкість руху автомобіля на кожній з них і на обох ділянках разом.

20(д). Пасажир потяга, що рухається із швидкістю 40 км/год, спостерігає протягом 3 с зустрічний потяг довжиною 75 м. З якою швидкістю рухається зустрічний потяг?

21(в). За графіком швидкості (мал. 4) побудуйте графіки переміщення й прискорення та обґрунтуйте характер руху тіла на різних ділянках.

22(в). За графіком переміщення (мал. 5) побудувати графік швидкості й прискорення та обґрунтуйте характер руху на кожній ділянці.

23(в). Човен перетинає річку, рухаючись перпендикулярно до берега із швидкістю 2 м/с. Під яким кутом до вибраного напрямку осі ΟΥ і з якою швидкістю відносно поверхні води весляр тримає курс, якщо швидкість течії становить 5 км/год (мал. 6)?

24(в). З якою швидкістю і яким курсом повинен рухатися літак, щоб за 2 год пролетіти на північ 300 км, якщо під час польоту дме північно-західний вітер під кутом до меридіана із швидкістю 27 км/год (мал. 7)?

25(в). Літак летить відносно повітря із швидкістю 800 км/год. Вітер дме із заходу на схід зі швидкістю 15 м/с. З якою швидкістю буде рухатися літак відносно землі на південь і під яким кутом до меридіана треба тримати курс?

26(в). Моторний човен долає ту саму відстань за течією річки за 4 год, а проти неї — за 6 год. За який час човен проплив би цю відстань у стоячій воді?

27(в). Визначте середню орбітальну швидкість супутника, якщо середня висота його орбіти над Землею становить 1200 км, а період обертання — 105 хв.

28(в). Які кутова і лінійна швидкості точок поверхні Землі на широті 45°?

29(в). Турбіна ГЕС має діаметр робочого колеса 9 м і здійснює 68,2 обертів за хвилину. Визначте швидкість кінців лопатів турбіни.