3.3: Умовна ймовірність і незалежні події

Припустимо, справедлива смерть була прокатана, і вас просять дати ймовірність, що це була п’ятірка. Є шість однаково ймовірних результатів, тому ваша відповідь є \(1/6\) . Але припустимо, що перед тим, як дати свою відповідь, вам дається додаткова інформація про те, що число прокату було непарним. Оскільки можливі лише три непарні числа, одне з яких п’ять, ви б переконалися: перегляньте лише свою оцінку ймовірності того, що п’ятірка була згорнута з \(1/6\) двох \(1/3\) . Взагалі, переглянута ймовірність того, що сталася подія А з урахуванням додаткової інформації про те, що на цьому дослідженні експерименту однозначно сталася інша подія \(B\) , називається умовною ймовірністю \(A\) даного \(B\) і позначається \(P(A\mid B)\) . Міркування, використані в цьому прикладі, можуть бути узагальнені, щоб отримати обчислювальну формулу в наступному визначенні.

Визначення: умовна ймовірність

Умовна ймовірність \(A\) заданої \(B\) , позначеної \(P(A\mid B)\) , – це ймовірність того, що подія \(A\) сталася в дослідженні випадкового експерименту, для якого відомо, що подія \(B\) точно відбулася. Його можна обчислити за допомогою наступної формули:

Приклад \(\PageIndex\) : Rolling a Die

Прокочується справедлива (неупереджена) плашка.

1. Знайти ймовірність того, що число згорнутого є п’ятіркою, враховуючи, що воно непарне.
2. Знайти ймовірність того, що число прокату непарне, враховуючи, що воно дорівнює п’ятірці.

Простір вибірки для цього експерименту являє собою набір, \(S=\) що складається з шести однаково ймовірних результатів. Нехай \(F\) позначають подію «п’ятірка прокочується» і нехай \(O\) позначають подію «кочується непарне число», щоб

1. Це вступний приклад, тому ми вже знаємо, що відповідь є \(1/3\) . Щоб використовувати Equation\ ref , щоб підтвердити це, ми повинні замінити \(A\) у формулі (подію, ймовірність якої ми прагнемо оцінити) на \(F\) і замінити \(B\) (подія, яку ми знаємо напевно, сталася) на \(O\) : \[P(F\mid O)=\dfrac\nonumber\] \[F\cap O=\cap =,\; P(F\cap O)=1/6\] Так як \[O=, \; P(O)=3/6.\] Так \[P(F\mid O)=\dfrac=\dfrac=\dfrac\nonumber\]
2. Це та ж проблема, але з ролями \(F\) і \(O\) зворотними. Оскільки нам дано, що число, яке було згорнуто, дорівнює п’яти, що непарно, ймовірність, про яку йде мова, повинна бути \(1\) . Щоб застосувати Equation\ ref до цього випадку ми повинні замінити \(A\) (подію, ймовірність якої ми прагнемо оцінити) на \(O\) і \(B\) (подія, яку ми знаємо напевно відбулася) на \(F\) : \[P(O\mid F)=\dfrac\nonumber\] Очевидно \(P(F)=1/6\) . Частково (а) ми виявили, що \(P(F\mid O)=1/6\) . Таким чином \[P(O\mid F)=\dfrac=\dfrac=1 \nonumber\]

Так само, як нам не потрібна обчислювальна формула в цьому прикладі, вона нам не потрібна, коли інформація представлена в двосторонній класифікаційній таблиці, як у наступному прикладі.

Приклад \(\PageIndex\) : Marriage and Gender

У вибірці \(902\) осіб \(40\) , які не перебували або раніше були одружені, кожна людина класифікувалася за статтю та віком при першому шлюбі. Результати підсумовуються в наступній двосторонній класифікаційній таблиці, де значення міток:

• \(M\) : самець
• \(F\) : жіночий
• \(E\) : підліток, коли вперше одружився
• \(W\) : у двадцяті роки, коли вперше одружився
• \(H\) : у тридцяті роки, коли вперше одружився

Цифри в першому рядку означають, що \(43\) люди у вибірці були чоловіками, які вперше одружилися в підлітковому віці, \(293\) були чоловіками, які вперше одружилися у двадцятих роках, \(114\) чоловіки, які вперше одружилися у тридцятих роках, і загальна кількість \(450\) людей у вибірці були чоловіками. Аналогічно для чисел у другому ряду. Цифри в останньому рядку означають, що, незалежно від статі, \(125\) люди у вибірці були одружені в підлітковому віці, \(592\) у двадцяті роки, \(185\) у тридцятих роках, і що в вибірці були \(902\) люди. Припустимо, що пропорції в вибірці точно відображають ті в популяції всіх осіб в популяції, які перебувають під \(40\) і які перебувають або раніше перебували в шлюбі. Припустимо, така людина вибирається навмання.

1. Знайдіть ймовірність того, що обраний індивід був підлітком при першому шлюбі.
2. Знайдіть ймовірність того, що обраний індивід був підлітком при першому шлюбі, враховуючи, що людина чоловіча.

Природно нехай \(E\) також позначати подію, що обраний був підлітком при першому шлюбі і нехай \(M\) позначати подію, що обраний чоловік.

1. Згідно з таблицею, частка осіб у вибірці, які були в підлітковому віці при першому шлюбі, становить \(125/902\) . Це відносна частота таких людей в популяції, звідси \(P(E)=125/902\approx 0.139\) або близько \(14\%\) .
2. Оскільки відомо, що обраний чоловік – чоловік, всі самки можуть бути зняті з розгляду, так що застосовується тільки рядок в таблиці, що відповідає чоловікам у вибірці:

Частка чоловіків у вибірці, які були в підлітковому віці при першому шлюбі, становить \(43/450\) . Це відносна частота таких людей в популяції самців, звідси \(P(E/M)=43/450\approx 0.096\) або близько \(10\%\) .

У наступному прикладі повинна бути використана обчислювальна формула в визначенні.

Приклад \(\PageIndex\) : Body Weigth and hypertension

Припустимо, що у дорослого населення частка людей, які мають надмірну вагу та страждають гіпертонією, становить \(0.09\) ; частка людей, які не мають зайвої ваги, але страждають гіпертонією, становить \(0.11\) ; частка людей, які мають надмірну вагу, але не страждають гіпертонією, є \(0.02\) ; і частка людей, які не мають надмірної ваги і не страждають гіпертонією, є \(0.78\) . Доросла особина вибирається випадковим чином з цієї популяції.

1. Знайдіть ймовірність того, що обрана людина страждає гіпертонією, враховуючи, що у нього надмірна вага.
2. Знайдіть ймовірність того, що обраний людина страждає гіпертонією з огляду на те, що у нього немає зайвої ваги.
3. Порівняйте дві ймовірності, щойно знайдені, щоб дати відповідь на питання про те, чи люди з надмірною вагою схильні страждати від гіпертонії.

Нехай \(H\) позначимо подію «обраний людина страждає гіпертонією». Нехай \(O\) позначимо подію «обраний людина має зайву вагу». Інформація про ймовірність, наведена в проблемі, може бути організована в наступну таблицю непередбачених ситуацій:

Незалежні заходи

Хоча зазвичай ми очікуємо, що умовна ймовірність буде відрізнятися від \(P(A)\) ймовірності \(A\) , вона не повинна відрізнятися від \(P(A)\) . \(P(A\mid B)\) Коли \(P(A\mid B)=P(A)\) , виникнення ніяк не \(B\) впливає на ймовірність виникнення \(A\) . Незалежно від того, чи \(A\) відбулася подія, не залежить від події \(B\) .

Використовуючи алгебру, можна показати, що рівність \(P(A\mid B)=P(A)\) зберігається тоді і лише тоді, коли рівність \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) тримається, що, в свою чергу, істинно тоді і тільки тоді \(P(B\mid A)=P(B)\) . Це є підставою для наступного визначення.

Визначення: Незалежні та залежні події

Події \(A\) і \(B\) є незалежними (тобто події, ймовірність виникнення яких разом є продуктом їх індивідуальних ймовірностей). якщо

Якщо \(A\) і не \(B\) є незалежними, то вони залежні.

Формула у визначенні має два практичних, але прямо протилежних використання:

• У ситуації, коли ми можемо обчислити всі три ймовірності \(P(A), P(B)\; \text\; P(A\cap B)\) , він використовується для перевірки того, чи події чи ні, \(A\) і \(B\) є незалежними:
  • Якщо \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) , то \(A\) і \(B\) є незалежними.
  • Якщо \(P(A\cap B)\neq P(A)\cdot P(B)\) , то \(A\) і не \(B\) є самостійними.

  Приклад \(\PageIndex\) : Rolling a Die again

  Один ярмарок плашка прокатки. Нехай \(A=\\) і \(B=\\) . Чи є \(A\) і \(B\) незалежні?

  У цьому прикладі ми можемо обчислити всі три ймовірності \(P(A)=1/6\) \(P(B)=1/2\) , і \(P(A\cap B)=P(\)=1/6\) . Так як товар не \(P(A)\cdot P(B)=(1/6)(1/2)=1/12\) такий же номер \(P(A\cap B)=1/6\) , як, події \(A\) і не \(B\) є самостійними.

  Двостороння класифікація одружених або раніше одружених дорослих до \(40\) відповідно до статі і віку при першому шлюбі підготувала таблицю.

  Е	W	H	Всього
  М	43	293	114	450
  F	82	299	71	452
  Всього	125	592	185	902

  Визначте, чи є події \(F\) : «жіночий» і \(E\) : «був підлітком при першому шлюбі» незалежні.

  Таблиця показує, що в вибірці \(902\) таких дорослих, \(452\) були жінками, \(125\) були підлітками при першому шлюбі, і \(82\) були жінки, які були підлітками при першому шлюбі, так що

  робимо висновок, що дві події не є незалежними.

  Багато діагностичні тести для виявлення захворювань перевіряють не безпосередньо захворювання, а на хімічний або біологічний продукт захворювання, отже, не є абсолютно надійними. Чутливість тесту – це ймовірність того, що тест буде позитивним при призначенні людині, яка має захворювання. Чим вище чутливість, тим більше швидкість виявлення і тим нижче помилковий негативний показник.

  Припустимо, чутливість діагностичної процедури, щоб перевірити, чи є у людини те чи інше захворювання \(92\%\) . Людина, у якого насправді є захворювання, тестується на нього за допомогою цієї процедури двома незалежними лабораторіями.

  1. Яка ймовірність того, що обидва результати тесту будуть позитивними?
  2. Яка ймовірність того, що хоча б один з двох результатів тесту буде позитивним?
  1. Нехай \(A_1\) позначають подію «тест першою лабораторією позитивний» і нехай \(A_2\) позначають подію «тест другої лабораторії позитивний». Так як \(A_1\) і \(A_2\) є незалежними, \[\begin P(A_1\cap A_2) &=P(A_1)\cdot P(A_2) \\[4pt] &=0.92\times 0.92 \\[4pt] &=0.8464 \end\]
  2. Використовуючи адитивне правило для ймовірності та щойно обчисленої ймовірності, \[\beginP(A_1\cup A_2) &= P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2) \\[4pt] &=0.92+0.92-0.8464 \\[4pt] &=0.9936 \end\]

  Приклад \(\PageIndex\) : specificity of a diagnostic test

  Специфіка діагностичного тесту на захворювання полягає в ймовірності того, що тест буде негативним при призначенні людині, яка не має захворювання. Чим вище специфічність, тим нижче хибнопозитивний показник. Припустимо, специфіка діагностичної процедури, щоб перевірити, чи є у людини те чи інше захворювання \(89\%\) .

  1. Людина, у якого немає захворювання, тестується на нього за допомогою цієї процедури. Яка ймовірність того, що результат тесту буде позитивним?
  2. Людина, у якого немає захворювання, тестується на нього двома незалежними лабораторіями з використанням цієї процедури. Яка ймовірність того, що обидва результати тесту будуть позитивними?
  1. Нехай \(B\) позначимо подію «результат тесту позитивний». Доповненням \(B\) є те, що результат тесту негативний, і має ймовірність специфічності тесту, \(0.89\) . Таким чином \[P(B)=1-P(B^c)=1-0.89=0.11 \nonumber\]
  2. Нехай \(B_1\) позначають подію «тест першою лабораторією позитивний» і нехай \(B_2\) позначають подію «тест другої лабораторії позитивний». Оскільки \(B_1\) і \(B_2\) є незалежними, по частині (а) прикладу \[P(B_1\cap B_2)=P(B_1)\cdot P(B_2)=0.11\times 0.11=0.0121 \nonumber\]

  Поняття незалежності поширюється на будь-яку кількість подій. Наприклад, три події \(A,\; B,\; \text\; C\) незалежні, якщо \(P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)\) . Уважно зауважте, що, як і у випадку з двома подіями, це не формула, яка завжди дійсна, але тримається саме тоді, коли події, про які йде мова, є незалежними.

  Приклад \(\PageIndex\) : redundancy

  Надійність системи може бути підвищена за рахунок надмірності, що означає створення двох або більше незалежних пристроїв для виконання тієї ж роботи, таких як дві незалежні гальмівні системи в автомобілі. Припустимо, конкретний вид дресируваних собак має \(90\%\) шанс виявити контрабанду в багажі авіакомпанії. Якщо багаж тричі перевіряють три різні собаки незалежно один від одного, яка ймовірність того, що контрабанда буде виявлена?

  Нехай \(D_1\) позначимо подію, що контрабанда виявлена першою собакою, \(D_2\) подія, що вона виявлена другою собакою, і \(D_3\) подія, що вона виявлена третьою. Оскільки кожна собака має виявлення \(90\%\) контрабанди, за Правилом ймовірності для доповнень вона має \(10\%\) шанс зазнати невдачі. В символах, \[P(D_^)=0.10,\; \; P(D_^)=0.10,\; \; P(D_^)=0.10\]

  Давайте \(D\) позначимо подію, що контрабанда виявлена. Ми шукаємо \(P(D)\) . Його легше знайти \(P(D^c)\) , тому що, хоча існує кілька способів виявлення контрабанди, є лише один спосіб, щоб вона залишилася непоміченою: всі три собаки повинні зазнати невдачі. Таким чином \(D^c=D_^\cap D_^\cap D_^\) і \[P(D)=1-P(D^c)=1-P(D_^\cap D_^\cap D_^)\] Але події \(D_1\) \(D_2\) , і \(D_3\) є незалежними, що означає, що їх доповнення є незалежними, тому \[P(D_^\cap D_^\cap D_^)=P(D_^)\cdot P(D_^)\cdot P(D_^)=0.10\times 0.10\times 0.10=0.001\]

  Використовуючи це число на попередньому дисплеї, отримуємо \[P(D)=1-0.001=0.999\]

  Тобто, хоча будь-яка одна собака має лише \(90\%\) шанс виявити контрабанду, три собаки, які працюють самостійно, мають \(99.9\%\) шанс виявити її.

  Ймовірності на деревовидних діаграмах

  Деякі проблеми ймовірності значно спрощуються при підході за допомогою діаграми дерева. Наступний приклад ілюструє, як розмістити ймовірності на діаграмі дерева і використовувати її для вирішення проблеми.

  Приклад \(\PageIndex\) : A jar of Marbles

  Баночка містить \(10\) мармур, \(7\) чорний і \(3\) білий. Два кульки малюються без заміни, а це означає, що перший не ставиться назад до того, як буде намальований другий.

  1. Яка ймовірність того, що обидва мармуру чорні?
  2. Яка ймовірність того, що саме один мармур чорний?
  3. Яка ймовірність того, що хоча б один мармур чорний?

  Деревоподібна схема для ситуації нанесення одного мармуру за іншим без заміни показана на малюнку \(\PageIndex\) . Коло і прямокутник буде пояснено пізніше, і їх слід ігнорувати.

  Малюнок \(\PageIndex\) : Діаграма дерева для малювання двох мармурів

  Цифри на двох крайніх лівих гілках – це ймовірність отримання або чорного мармуру \(10\) , \(7\) або білого мармуру, \(3\) з \(10\) першого розіграшу. Число на кожній залишилася гілці – це ймовірність події, відповідної вузлу на правому кінці гілки, враховуючи, що сталася подія, відповідна вузлу на лівому кінці гілки. Таким чином, для верхньої гілки, що з’єднує два Бс \(P(B_2\mid B_1)\) , вона, де \(B_1\) позначає подію «перший намальований мармур чорний» і \(B_2\) позначає подію «другий намальований мармур чорний». Оскільки після малювання чорного мармуру залишаються \(9\) мармури, з яких \(6\) чорні, ця ймовірність є \(6/9\) .

  Число праворуч від кожного кінцевого вузла обчислюється так, як показано, використовуючи принцип, що якщо формулу в Умовному правилі для ймовірності помножити на \(P(B)\) , то результат буде

  1. Подія «обидва мармуру чорні» є \(B_1\cap B_2\) і відповідає верхньому правому вузлу в дереві, яке було обведено. Таким чином, як зазначено там, воно є \(0.47\) .
  2. Подія «рівно один мармур чорний» відповідає двом вузлам дерева, укладеним прямокутником. Події, які відповідають цим двом вузлам, взаємовиключні: чорний, за яким слідує білий, несумісний з білим, а потім чорний. Таким чином, відповідно до адитивного правила ймовірності ми просто додаємо дві ймовірності поруч із цими вузлами, оскільки те, що буде віднімано від суми, дорівнює нулю. Таким чином, ймовірність нанесення рівно одного чорного мармуру в дві спроби є \(0.23+0.23=0.46\) .
  3. Подія «принаймні один мармур чорний» відповідає трьом вузлам дерева, укладеним або колом, або прямокутником. Події, які відповідають цим вузлам, є взаємовиключними, тому, як і в частині (b), ми просто додаємо ймовірності поруч з цими вузлами. Таким чином, ймовірність нанесення хоча б одного чорного мармуру в дві спроби є \(0.47+0.23+0.23=0.93\) .

  Звичайно, цю відповідь можна було б знайти легше, використовуючи Закон ймовірності для доповнень, просто віднімаючи ймовірність додаткової події, «два білі кульки малюються», від 1 до отримання \(1-0.07=0.93\) .

  Як показує цей приклад, знайти ймовірність для кожної гілки досить просто, оскільки ми обчислюємо її, знаючи все, що сталося в послідовності кроків до цих пір. З цього прикладу випливають два принципи, які є істинними загалом:

  Ймовірності на деревовидних діаграмах

  • Імовірність події, що відповідає будь-якому вузлу на дереві, є добутком чисел на унікальному шляху гілок, що веде до цього вузла з початку.
  • Якщо подія відповідає кільком кінцевим вузлам, то його ймовірність виходить шляхом додавання чисел поруч з цими вузлами.

  Ключ на винос

  • Умовною ймовірністю називається ймовірність того, що подія сталася з урахуванням додаткової інформації про результат експерименту.
  • Умовну ймовірність завжди можна обчислити, використовуючи формулу в визначенні. Іноді його можна обчислити, відкинувши частину простору зразка.
  • Дві події \(A\) і \(B\) є незалежними, якщо \(P(A\cap B)\) ймовірність їх перетину \(A\cap B\) дорівнює \(P(A)\cdot P(B)\) добутку їх індивідуальних ймовірностей.

  Recommended articles

  1. Article type Section or Page License CC BY-NC-SA License Version 3.0 Show Page TOC No on Page
  2. Tags
     1. authorname:anonynous
     2. conditional probability
     3. Independent Events
     4. program:hidden
     5. source@https://2012books.lardbucket.org/books/beginning-statistics
     6. source[translate]-stats-532
     7. SPECIFICITY OF A DIAGNOSTIC TEST
     8. two-way classification table

     Умовна ймовірність і незалежність

     В останньому розділі ми встановили деякі основні правила ймовірності, які включали:

     • Основні властивості ймовірності (правило перше і правило друге)
     • Правило доповнення (правило третє)
     • Правило додавання для неспільних подій (правило четверте)
     • Загальне правило додавання, для якого події не повинні бути розмежовані (правило п’яте)

     Для того, щоб завершити наш набір правил, нам потрібно ще два Правила множення для знаходження P (A і B) і важливих понять незалежних подій і умовної ймовірності.

     Спочатку ми представимо ідею незалежних подій, а потім введемо Правило множення для незалежних подій, яке дає можливість знайти P (A і B) у випадках, коли події A і B є незалежними.

     Далі ми визначимо умовну ймовірність і використаємо її для формалізації нашого визначення незалежних подій, яке спочатку представлено лише інтуїтивно зрозумілим способом.

     Потім ми розробимо Загальне правило множення, правило, яке підкаже нам, як знайти P (A і B) у випадках, коли події A і B не обов’язково незалежні.

     Ми закінчимо обговоренням ймовірності застосування в медичних науках.

     Незалежні заходи

     Цілі навчання

     ЛО 6.7: Визначте, чи дві події є незалежними чи залежними, і обґрунтуйте свій висновок.

     Почнемо з словесного визначення незалежних подій (пізніше ми будемо використовувати ймовірнісні позначення, щоб визначити це більш точно).

     Незалежні події:

     • Дві події A і B вважаються незалежними, якщо той факт, що одна подія сталася, не впливає на ймовірність того, що відбудеться інша подія.
     • Якщо відбувається одна подія чи ні, впливає на ймовірність того, що відбудеться інша подія, то дві події, як кажуть, залежні.

     ПРИКЛАД:

     Кишеня жінки містить дві чверті і два нікеля.

     Вона випадковим чином витягує одну з монет і, подивившись на неї, замінює її, перш ніж вибрати другу монету.

     Нехай Q1 буде подією, що перша монета – чверть, а Q2 – подія, що друга монета – чверть.

     Чи є незалежними подіями Q1 та Q2?

     Оскільки перша монета, яка була обрана, замінюється, відбувся чи ні Q1 (тобто, чи була перша монета чверть) не впливає на ймовірність того, що друга монета буде чверть, P (Q2).

     У будь-якому випадку (відбувся Q1 чи ні), коли вона вибирає другу монету, у неї в кишені є:

     і тому P (Q2) = 2/4 = 1/2 незалежно від того, чи відбувся Q1.

     ПРИКЛАД:

     Кишеня жінки містить дві чверті і два нікеля.

     Вона випадковим чином витягує одну з монет, і, не поміщаючи її назад в кишеню, вибирає другу монету.

     Як і раніше, нехай Q1 буде подією, що перша монета – чверть, а Q2 – подія, що друга монета – чверть.

     Чи є незалежними подіями Q1 та Q2?

     Оскільки перша монета, яка була обрана, не замінюється, чи відбувся Q1 (тобто, чи була перша монета чверть) впливає на ймовірність того, що друга монета – чверть, P (Q2).

     Якщо сталася Q1 (тобто перша монета була чверть), то коли жінка вибирає другу монету, у неї в кишені є:

     Однак якщо Q1 не відбувся (тобто перша монета була не чверть, а нікель), то коли жінка вибирає другу монету, у неї в кишені є:

     У цих останніх двох прикладах ми могли б насправді зробити деякі обчислення для того, щоб перевірити, чи є дві події незалежними чи ні.

     Іноді ми можемо просто використовувати здоровий глузд, щоб керувати нами щодо того, чи дві події є незалежними. Ось приклад.

     ПРИКЛАД:

     Двоє людей вибираються одночасно і навмання з усіх людей в Сполучених Штатах.

     Нехай B1 буде подією, що один з людей має блакитні очі, а В2 – подія, що інша людина має блакитні очі.

     При цьому, оскільки вони були обрані навмання, чи є у одного з них блакитні очі, ніяк не впливає на ймовірність того, що у іншого блакитні очі, а тому В1 і В2 незалежні.

     ПРИКЛАД:

     У сім’ї 4 дитини, двоє з яких вибираються навмання.

     Нехай B1 буде подією, що у однієї дитини блакитні очі, а В2 – подією, що у іншого обраного дитини блакитні очі.

     У цьому випадку В1 і В2 не є самостійними, оскільки ми знаємо, що колір очей є спадковим.

     Таким чином, незалежно від того, чи є одна дитина блакитноокою, збільшить або зменшить шанси на те, що інша дитина має блакитні очі відповідно.

     • Досить часто студенти спочатку плутаються в розрізненні ідеї неспільних подій і ідеї самостійних подій. Мета цього коментаря (і діяльності, яка слідує за ним) – допомогти учням розвинути більше розуміння цих дуже різних ідей.

     Ідея неспільних подій полягає в тому, чи можна події відбуватися одночасно (див. Приклади на сторінці Основні правила ймовірності).

     Ідея самостійних подій полягає в тому, впливають чи ні події один на одного в тому сенсі, що виникнення однієї події впливає на ймовірність виникнення іншого (див. Приклади вище).

     Наступна діяльність стосується розмежування цих понять.

     Мета цієї діяльності – допомогти вам зміцнити розуміння понять неспільних подій і самостійних подій, а також розмежування між ними.

     Навчіться, роблячи: Незалежні події

     Давайте підсумуємо три частини діяльності:

     • У прикладі 1: A і B не є нероз’єднаними і незалежними
     • У прикладі 2: A і B не є нероз’єднаними і не незалежними
     • У прикладі 3: A і B є нероз’єднаними і не незалежними.

     Чому ми випустили випадок, коли події неспільні і незалежні?

     Причина в тому, що цей випадок НЕ ІСНУЄ!

     A і B Незалежні	A і B Не незалежні
     A і B Роз’єднані	НЕ ІСНУЄ	Приклад 3
     А і Б не роз’єднуються	Приклад 1	Приклад 2

     Якщо події неспільні, то вони не повинні бути самостійними, тобто вони повинні бути залежними подіями.

     Чому це так?

     • Нагадаємо: Якщо A і B нез’єднані, то вони не можуть відбуватися разом.
     • Іншими словами, A і B є неспільні події означає, що якщо подія A відбувається, то B не відбувається і навпаки.
     • Ну. якщо це так, знаючи, що подія А сталася різко змінює ймовірність того, що подія B відбудеться – ця ймовірність дорівнює нулю.
     • Це означає, що A і B не є незалежними.

     Тепер, коли ми розуміємо ідею самостійних подій, ми можемо нарешті дістатися до правил знаходження P (A і B) в особливому випадку, в якому події A і B є незалежними.

     Пізніше ми представимо більш загальну версію для використання, коли події не обов’язково незалежні.

     Правило множення для незалежних подій (правило шосте)

     Цілі навчання

     LO 6.8: Застосуйте правило множення для незалежних подій, щоб обчислити P (A і B) для незалежних подій.

     Тепер перейдемо до правил розрахунку

     починаючи з правила множення для самостійних подій.

     Використовуючи діаграму Венна, ми можемо візуалізувати «A і B», яка представлена перекриттям між подіями A і B:

     Правило ймовірності шість (правило множення для незалежних подій):

     • При роботі з правилами ймовірності слово «і» завжди буде пов’язано з операцією множення; звідси і назва цього правила – «Правило множення».

     ПРИКЛАД:

     Згадаймо приклад групи крові:

     Двоє людей вибираються одночасно і навмання з усіх людей в Сполучених Штатах.

     Яка ймовірність того, що обидва мають групу крові O?

     Нам потрібно знайти P (O1 і O2)

     Так як вони були обрані одночасно і навмання, то група крові одного ніяк не впливає на групу крові іншого. Тому O1 та O2 є незалежними, і ми можемо застосувати Правило 6:

     P (A або B) = P (A) + P (B) для неспільних подій,

     і правило множення, яке говорить

     P (A і B) = P (A) * P (B) для незалежних подій.

     Мета цього коментаря – вказати на величину P (A або B) та P (A і B) відносно будь-якої з індивідуальних ймовірностей.

     Оскільки ймовірності ніколи не бувають негативними, ймовірність тієї чи іншої події завжди принаймні така ж велика, як і будь-яка з індивідуальних ймовірностей.

     Оскільки ймовірності ніколи не перевищують 1, ймовірність однієї події та іншої, як правило, передбачає множення чисел, які менше 1, тому ніколи не може бути більше, ніж будь-яка з індивідуальних ймовірностей.

     ПРИКЛАД:

     Розглянемо подію А, що випадково обрана людина має групу крові А.

     Змініть його на більш загальну подію – що випадково обрана людина має групу крові A або B – і ймовірність збільшується.

     Змініть його на більш конкретну (або обмежувальну) подію – що не лише одна випадково обрана людина має групу крові А, але й те, що з двох одночасно випадково обраних людей людина 1 матиме тип А, а людина 2 матиме тип B – і ймовірність зменшується.

     Важливо згадати про це, щоб викорінити поширену оману.

     • Слово «і» асоціюється в нашій свідомості з «додаванням більше речей». Тому деякі студенти неправильно вважають, що P (A і B) повинні бути більшими за будь-яку з індивідуальних ймовірностей, тоді як вона насправді менша, оскільки це більш конкретна (обмежувальна) подія.
     • Також слово «або» асоціюється в нашій свідомості з «необхідності вибирати між» або «втратити щось», і тому деякі студенти неправильно вважають, що P (A або B) повинен бути меншим за будь-яку з індивідуальних ймовірностей, тоді як вона насправді більша, оскільки це більш загальна подія.

     Практично ви можете використовувати цей коментар, щоб перевірити себе при вирішенні проблем.

     Наприклад, якщо ви вирішуєте проблему, яка передбачає «або», і отримана ймовірність менше будь-якої з окремих ймовірностей, то ви знаєте, що десь помилилися.

     • Правило ймовірності шість може бути використано як тест, щоб перевірити, чи є дві події незалежними чи ні.
     • Якщо ви можете легко знайти P (A), P (B) і P (A і B) за допомогою логіки або передбачені ці значення, то ми можемо перевірити незалежні події, використовуючи правило множення для незалежних подій:

     ЯКЩО P (A) * P (B) = P (A і B) ТО A і B є незалежними подіями, інакше вони залежні події.

     Як ви вже бачили, останні три правила, які ми ввели (правило доповнення, правила додавання та правило множення для незалежних подій) часто використовуються при вирішенні завдань.

     Перш ніж ми перейдемо до нашого наступного правила, ось два коментарі, які допоможуть вам використовувати ці правила в більш широких типах проблем і більш ефективно.

     • Як ми вже згадували раніше, правило додавання для неспільних подій (правило четверте) може бути розширено на більш ніж дві неспільні події.
     • Так само правило множення для незалежних подій (правило шосте) може бути розширено на більш ніж дві незалежні події.
     • Так якщо A, B і C – три незалежні події, наприклад, то P (A і B і C) = P (A) * P (B) * P (C).
     • Ці розширення досить прості, якщо ви пам’ятаєте, що «або» вимагає від нас додавання, тоді як «і» вимагає від нас множення.

     ПРИКЛАД:

     Три людини вибираються одночасно і навмання.

     Яка ймовірність того, що у всіх трьох є група крові В?

     Ми будемо використовувати звичайні позначення B1, B2 і B3 для подій, що особи 1, 2 і 3 мають групу крові B відповідно.

     Нам потрібно знайти Р (В1 і В2 і В3). Давайте вирішимо це разом:

     Ось ще один приклад, який може бути досить дивним.

     ПРИКЛАД:

     Справедлива монета кидається 10 разів. Який з наступних двох результатів є більш імовірним?

     Насправді вони однаково вірогідні. 10 кидків є незалежними, тому ми будемо використовувати правило множення для незалежних подій:

     • Р (ГГГГГГГГН) = Р (Н) * Р (Н) *. * П (Н) = 1/2 * 1/2 *. * 1/2 = (1/2) 10
     • Р (HTTHHTTH) = Р (Н) * Р (Т) *. * Р (Н) = 1/2 * 1/2 *. * 1/2 = (1/2) 10

     Наш випадковий експеримент тут кидає монету 10 разів.

     • Ви можете собі уявити, наскільки величезний простір для зразків.
     • Насправді існує 1,024 можливі результати цього експерименту, всі з яких однаково вірогідні.
     • хоча це правда, що швидше за все отримати результат, який має 5 голів і 5 хвостів, ніж результат, який має тільки голови

     так як є тільки один можливий результат, який дає всі голови

     і багато можливих результатів, які дають 5 голів і 5 хвостів

     • якщо порівнювати 2 конкретнірезультати, як ми тут, вони однаково вірогідні.

     ВАЖЛИВІ КОМЕНТАРІ:

     • Використовуйте правило множення лише для незалежнихподій, правило шосте, яке говорить P (A та B) = P (A) P (B), якщо ви впевнені, що дві події є незалежними.
       • Правило ймовірності шість справедливо ТІЛЬКИ для незалежних подій.
       • НЕ використовуйте правило множення для незалежних подій для обчислення P (A і B), використовуйте тільки логіку і підрахунок.

       Умовна ймовірність (правило сім)

       Цілі навчання

       LO 6.9: Застосовуйте логіку або правила ймовірності для обчислення умовних ймовірностей, P (A|B) та інтерпретувати їх у контексті.

       Тепер введемо поняття умовної ймовірності.

       Ідея тут полягає в тому, що ймовірності певних подій можуть впливати на те, відбулися чи ні інші події.

       Термін «умовний» відноситься до того, що у нас будуть додаткові умови, обмеження або інша інформація, коли нас попросять обчислити цей тип ймовірності.

       Проілюструємо цю ідею простим прикладом:

       ПРИКЛАД:

       Усі учні певної середньої школи були опитані, потім класифіковані за статтю та чи прокололи у них вуха:

       (Зауважте, що це двостороння таблиця підрахунків, яка була вперше введена, коли ми говорили про зв’язок між двома категоріальними змінними.

       Не дивно, що ми знову використовуємо його в цьому прикладі, оскільки у нас дійсно є дві категоричні змінні тут:

       • Стать: M або F (в нашому позначенні «не М»)
       • Пірсинг: Так чи ні

       Припустимо, учня вибирається навмання зі школи.

       • Нехай М, а не М позначають події буття чоловічої та жіночої статі відповідно,
       • а Е і не Е позначають події того, що вуха проколоті чи ні відповідно.

       Яка ймовірність того, що у учня прокололи будь-яке вухо?

       Оскільки студент вибирається навмання з групи з 500 учнів, з яких 324 проколюються,

       Яка ймовірність того, що студент – чоловік?

       Оскільки студент вибирається навмання з групи з 500 учнів, з яких 180 – чоловіки,

       Яка ймовірність того, що студент є чоловіком і прокололо вухо (и)?

       Оскільки студент вибирається випадковим чином з групи 500 студентів, з яких 36 є чоловіками та мають проколоті вуха,

       З огляду на, що обраний студент – чоловік, яка ймовірність того, що у нього прокололи одне або обидва вуха?

       У цей момент потрібно нове позначення, щоб висловити ймовірність певної події, враховуючи, що інша подія має місце.

       • «ймовірність того, що будь-який вухо прокололи (E), враховуючи, що студент є чоловіком (M)»
       • як П (Е | М).

       Слово про це нове позначення:

       • Подія, ймовірність якої ми шукаємо (в даному випадку Е) записується першою,
       • вертикальна лінія позначає слово «дано» або «обумовлено»,
       • і подія, яке дано (в даному випадку М) пишеться після знака «|».

       Ми називаємо цю ймовірність

       • умовнаймовірністьпроколоти або вухо, враховуючи, що учень – чоловік:
       • він оцінює ймовірність проколоти вуха за умови чоловічої статі.

       Тепер, щоб знайти ймовірність, ми спостерігаємо, що вибір лише з чоловіків у школі суттєво змінює простір вибірки від усіх учнів школи до всіх учнів чоловічої статі в школі.

       Загальна кількість можливих результатів вже не 500, а змінилася до 180.

       З цих 180 самців 36 прокололи вухо (и), таким чином:

       Хорошу наочну ілюстрацію цієї умовної ймовірності дає двостороння таблиця:

       що показує нам, що умовна ймовірність у цьому прикладі така ж, як і умовні відсотки, які ми обчислювали ще в розділі 1. На наведеній вище візуальній ілюстрації зрозуміло, що ми обчислюємо відсоток рядка.

       ПРИКЛАД:

       Розглянемо приклад пірсингу, де наведена наступна двостороння таблиця,

       Нагадаємо також, що М являє собою подію бути чоловіком («не М» означає бути жінкою), а Е являє собою подію проколювання одного або обох вух.

       Чи я отримав це? : Умовна ймовірність

       Ще одним способом візуалізації умовної ймовірності є використання діаграми Венна:

       Як у двосторонній таблиці, так і в діаграмі Венна,

       • зменшений простір зразка (складається тільки з самців) затінюється світло-зеленим,
       • і в межах цього зразкового простору цікава подія (проколювання вух) затінюється темно-зеленим кольором.

       Двостороння таблиця ілюструє ідею за допомогою підрахунків, тоді як діаграма Венна перетворює лічильники на ймовірності, які представлені як регіони, а не клітинки.

       Ми можемо працювати з лічильниками, як представлені в двосторонній таблиці, щоб написати

       Або ми можемо працювати з ймовірностями, як представлено на діаграмі Венна, написавши

       Однак ми хочемо написати наш формальний вираз для умовних ймовірностей з точки зору інших, звичайних, ймовірностей і тому визначення умовної ймовірності виросте з діаграми Венна.

       Правило ймовірності сім (правило умовної ймовірності):

       • Відзначимо, що коли ми оцінюємо умовну ймовірність, ми завжди ділимо на ймовірність заданої події. Імовірність того, і іншого йде в чисельнику.
       • Наведена вище формула тримає до тих пір, як P (A) > 0, оскільки ми не можемо розділити на 0. Іншими словами, ми не повинні шукати ймовірність події, враховуючи, що сталася неможлива подія.

       Давайте подивимося, як ми можемо використовувати цю формулу на практиці:

       ПРИКЛАД:

       На етикетці «Інформація для пацієнта» певного антидепресанту стверджується, що на підставі деяких клінічних випробувань,

       • є 14% ймовірність виникнення проблем зі сном, відомих як безсоння (позначте цю подію я),
       • є 26% шанс відчути головний біль (позначають цю подію H),
       • і є 5% шанс випробувати обидва побічні ефекти (I і H).

       (а) Припустимо, що пацієнт відчуває безсоння; яка ймовірність того, що пацієнт також відчує головний біль?

       Оскільки ми знаємо (або дається), що пацієнт відчував безсоння, ми шукаємо P (H | I).

       За визначенням умовної ймовірності:

       (б) Припустимо, що препарат викликає головний біль у пацієнта; яка ймовірність того, що він також викликає безсоння?

       Тут нам дають, що пацієнт відчував головний біль, тому шукаємо Р (I | Н).

       • Зауважте, що відповіді на (a) і (b) вище різні.
       • В цілому P (A | B) не дорівнює P (B | A). Ми повернемося і проілюструємо цей момент пізніше.

       Тепер, коли ми ввели умовну ймовірність, спробуйте інтерактивну демонстрацію нижче, яка використовує діаграму Венна, щоб проілюструвати основні ймовірності, які ми обговорювали.

       Тепер ви також можете досліджувати умовні ймовірності.

       Інтерактивний аплет: умовна ймовірність

       Незалежні події (частина 2)

       Цілі навчання

       ЛО 6.7: Визначте, чи дві події є незалежними чи залежними, і обґрунтуйте свій висновок.

       Як ми бачили в розділі Розвідувальний аналіз даних, коли ситуація включає більше однієї змінної, як правило, цікаво визначити, чи пов’язані змінні.

       Ймовірно, ми говоримо про незалежні події, і раніше ми говорили, що дві події A і B є незалежними, якщо подія А не впливає на ймовірність того, що подія B відбудеться.

       Тепер, коли ми ввели умовну ймовірність, ми можемо формалізувати визначення незалежності подій і розробити чотири простих способи перевірити, чи є дві події незалежними чи ні.

       Ми введемо ці «перевірки незалежності» на прикладах, а потім підсумуємо.

       ПРИКЛАД:

       Знову розглянемо двосторонню таблицю для всіх 500 учнів у певній середній школі, класифіковану за статтю та незалежно від того, чи є у них проколоті одне або обидва вуха.

       Чи очікуєте ви, що ці дві змінні будуть пов’язані?

       • Тобто, чи очікуєте ви, що проколювання вух залежатиме від того, чи є студент чоловіком чи жінкою?
       • Або, кажучи ще одним способом, чи знання статі студента вплине на ймовірність того, що вуха учня проколоті?

       Щоб відповісти на це, ми можемо порівняти загальну ймовірність проколоти вуха з умовною ймовірністю проколоти вуха, враховуючи, що студент – чоловік.

       Наша інтуїція підказала б нам, що остання повинна бути нижчою:

       Дійсно, для студентів взагалі ймовірність проколоти вуха (подія Е) становить

       Але ймовірність проколоти вуха, враховуючи, що учень – чоловік, є лише

       Як ми і передбачали, P (E | M) нижче, ніж P (E).

       Імовірність того, що студент проколов вуха, змінюється (в цьому випадку стає нижче), коли ми знаємо, що учень – чоловік, а тому події Е і М залежать.

       Пам’ятайте, якби Е і М були незалежними, знаючи чи не знаючи, що студент є чоловіком, не змінило б значення. але це сталося.

       Попередній приклад ілюструє, що одним із методів визначення того, чи є дві події незалежними, є порівняння P (B | A) та P (B).

       • Якщо два рівні (тобто, знаючи чи не знаючи, чи сталося А, не впливає на ймовірність виникнення B), то дві події є незалежними.
       • В іншому випадку, якщо ймовірністьзмінюється в залежності від того, чи знаємо ми, що відбулася А чи ні, то дві події не є незалежними.

       Аналогічно, використовуючи ті ж міркування, ми можемо порівняти P (A | B) і P (A).

       ПРИКЛАД:

       На етикетці «Інформація для пацієнта» певного антидепресанту стверджується, що на підставі деяких клінічних випробувань,

       • є 14% ймовірність виникнення проблем зі сном, відомих як безсоння (позначте цю подію я),
       • є 26% шанс відчути головний біль (позначають цю подію H),
       • і є 5% шанс випробувати обидва побічні ефекти (I і H).

       Чи два побічні ефекти незалежні один від одного?

       Щоб перевірити, чи є два побічні ефекти незалежними, порівняємо P (H | I) і P (H).

       У попередній частині цього розділу ми виявили, що

       • Р (Н | I) = Р (Н і I)/Р (I) = 0,05/0,14 = 0,357,
       • в той час як Р (Н) = 0,26.

       Знання того, що пацієнт зазнав безсоння, збільшує ймовірність того, що він/вона також відчує головний біль від 0,26 до 0,357.

       Отже, висновок полягає в тому, що два побічні ефекти не є незалежними, вони залежні.

       Крім того, ми могли б порівняти P (I | H) з P (I).

       • Р (I) = 0,14,
       • і раніше ми виявили, що Р (I | Н) = Р (I і Н)/P (H) = 0,05/0,26 = 0,1923,

       Знову ж таки, оскільки ці два не рівні, можна зробити висновок, що два побічні ефекти I і H залежні.

       • Згадаймо приклад з проколотими вухами. Ми перевірили незалежність подій М (будучи самцем) і Е (проколовши вуха) шляхом порівняння P (E) з P (E | M).

       Альтернативним методом перевірки залежності було б порівняння P (E | M) з P (E | не M) [так само, як P (E | F)].

       У нашому випадку P (E | M) = 36/180 = 0,2, тоді як P (E | не M) = 288/320 = 0,9, а так як два дуже різні, то можна сказати, що події Е і М не є незалежними.

       Загалом, ще одним методом перевірки незалежності подій A і B є порівняння P (B | A) і P (B | не A).

       Іншими словами, дві події є незалежними, якщо ймовірність однієї події не змінюється, чи знаємо ми, що інша подія сталася, або ми знаємо, що інша подія не відбулася.

       Можна показати, що P (B | A) і P (B | not A) будуть відрізнятися, коли P (B) і P (B | A) відрізняються, тому це ще один цілком законний спосіб встановити залежність або незалежність.

       Перш ніж встановити загальне правило незалежності, розглянемо приклад, який проілюструє інший метод, який ми можемо використовувати, щоб перевірити, чи є дві події незалежними:

       ПРИКЛАД:

       Група з 100 студентів коледжу були опитані про їхню стать та чи вирішили вони на спеціальність.

       Навсюди, ми не обов’язково матимемо вагомих причин очікувати, що прийняття рішення про майор буде залежати від статі студента.

       Ми можемо перевірити незалежність, порівнявши загальну ймовірність прийняття рішення з ймовірністю бути вирішеним, враховуючи, що студент – жінка:

       Той факт, що ці два рівні, говорить нам про те, що, як ми могли очікувати, прийняття рішення про майор не залежить від статі.

       Тепер давайте підійти до питання незалежності по-іншому: по-перше, можна відзначити, що загальна ймовірність вирішити 45/100 = 0,45.

       А загальна ймовірність бути жінкою 60/100 = 0,60.

       Якщо рішення не залежить від статі, то 45% з 60% класу, які є жінками, повинні мати вирішену спеціальність;

       іншими словами, ймовірність бути жіночою і вирішеною повинна дорівнювати ймовірності бути жінкою, помноженої на ймовірність бути вирішеним.

       Якщо події F і D незалежні, ми повинні мати P (F і D) = P (F) * P (D).

       По суті, Р (Ф і Г) = 27/100 = 0,27 = Р (Ф) * Р (Д) = 0,45* 0,60.

       Це підтверджує нашу альтернативну перевірку незалежності.

       Загалом, ще один метод перевірки незалежності подій А і В полягає в тому, щоб

       Узагальнимо всі можливі методи, які ми бачили для перевірки незалежності подій в одному правилі:

       Тести для незалежних подій: Дві події A та B є незалежними, якщо проводиться одна з наступних подій:

       • Ці різні рівності виявляються рівнозначними, так що якщо одна рівність дотримується, всі рівні, а якщо одна рівність не дотримується, всі не рівні. (Це відбувається з тієї ж причини, що знання одного зі значень Р (А і В), Р (А і не В), Р (НЕ А і В), або Р (НЕ А і не В) разом з Р (А) і Р (В) дозволяє визначити інші осередки двосторонньої таблиці ймовірностей.)
       • Тому для того, щоб перевірити, чи є події A і B незалежними чи ні, достатньо лише перевірити, чи має одне з чотирьох рівностей — залежно від того, що найпростіше для вас.

       Мета наступної діяльності полягає в тому, щоб практикувати перевірку незалежності двох подій за допомогою чотирьох різних можливих методів, які ми надали, і побачити, що всі вони приведуть нас до одного висновку, незалежно від того, який з чотирьох методів ми використовуємо.

       Загальне правило множення (правило вісім)

       Цілі навчання

       LO 6.10: Використовуйте загальне правило множення, щоб обчислити P (A і B) для будь-яких подій A і B.

       Тепер, коли ми маємо розуміння умовних ймовірностей і можемо висловити їх стислими позначеннями, і маємо більш формальне розуміння того, що означає для двох подій бути незалежними, ми можемо нарешті встановити Загальне правило множення, формальне правило для знаходження P (A і B) що стосується будь-яких двох подій, незалежно від того, є вони незалежними чи залежними.

       Почнемо з прикладу, який контрастує P (A і B) для самостійних і залежних випадків.

       ПРИКЛАД:

       Припустимо, ви вибираєте дві карти випадковим чином з чотирьох карт, що складаються з однієї масті: клуб, алмаз, серце і лопата, де перша карта замінюється перед тим, як вибрати другу карту.

       Яка ймовірність вибрати клуб, а потім алмаз?

       Оскільки відбір проб проводиться із заміною, незалежно від того, чи вибирається алмаз на другому відборі, не залежить від того, чи був обраний клуб на першому відборі.

       Правило 6, правило множення для самостійних подій, говорить нам, що:

       Тут ми позначаємо подію «клуб вибрав на першому відборі» як C1, а подію «діамант вибрав на другому відборі» як D2.

       На дисплеї нижче видно, що 1/4 часу ми виберемо клуб першим, і з цих часів, 1/4 призведе до алмаз на другий вибір: 1/4 * 1/4 = 1/16 виборів буде мати клуб спочатку, а потім алмаз.

       ПРИКЛАД:

       Припустимо, ви вибираєте дві карти випадковим чином з чотирьох карт, що складаються з однієї масті: клуб, алмаз, серце і лопата, не замінюючи першу карту, перш ніж вибрати другу карту.

       Яка ймовірність вибрати клуб, а потім алмаз?

       Імовірність в цьому випадку не 1/4 * 1/4 = 1/16.

       • Оскільки відбір проб проводиться без заміни, тому, чи вибирається алмаз на другому відборі, залежить від того, що було вибрано на першому відборі.
       • Наприклад, якщо алмаз був обраний на першому відборі, ймовірність іншого алмазу дорівнює нулю!
       • Як і в прикладі вище, 1/4 часу ми виберемо клуб першим.
       • Але так як клуб був видалений, 1/3 з цих виборів з клуб перший буде мати діамантовий другий.

       Імовірність клуба, а потім діаманта дорівнює 1/4* 1/3=1/12.

       • Це ймовірність отримання клуб перший, помножений на ймовірність отримання діаманта секунди, враховуючи, що клуб був обраний першим.

       Використовуючи позначення умовних ймовірностей, ми можемо записати

       Для самостійних подій A і B у нас було правило P (A і B) = P (A) * P (B).

       Завдяки незалежності, щоб знайти ймовірність A і B, ми могли б помножити ймовірність A на просту ймовірність B, тому що виникнення А не вплине на ймовірність виникнення B.

       Тепер для подій A і B, які можуть бути залежними, щоб знайти ймовірність A і B, помножимо ймовірність A на умовну ймовірність B, враховуючи, що відбулася А.

       Таким чином, наше загальне правило множення викладено наступним чином:

       Загальне правило множення – вірогідність правило вісім:

       1. Зверніть увагу, що хоча мотивація цього правила полягала в тому, щоб знайти P (A і B), коли A і B не є незалежними, це правило є загальним у тому сенсі, що якщо A і B трапляються незалежними, то P (B | A) = P (B) вірно, і ми повертаємося до правила 6 – Правило множення для незалежних подій: P (A і B) = P (А) * Р (Б).
       2. Загальне правило множення – це лише визначення умовної ймовірності в маскуванні. Нагадаємо визначення умовної ймовірності: P (B | A) = P (A і B)/P (A) Виділимо P (A і B) шляхом множення обох сторін рівняння на P (A), і отримаємо: P (A і B) = P (A) * P (B | A). Ось і все. це загальне правило множення.
       3. Загальне правило множення корисно, коли дві події, A і B, відбуваються поетапно, спочатку A, а потім B (як вибір двох карт у попередньому прикладі). Думаючи про це таким чином, загальне правило множення дуже інтуїтивно зрозумілим. Для того, щоб і A, і B відбулися спочатку потрібно A (що відбувається з ймовірністю P (A)), а потім потрібно B відбутися, знаючи, що A вже сталося (що відбувається з ймовірністю P (B | A)).

       Давайте розглянемо інший, більш реалістичний приклад:

       ПРИКЛАД:

       У певному регіоні кожен тисяча чоловік (0,001) заражений вірусом ВІЛ, що викликає СНІД.

       • Тести на наявність вірусу досить точні, але не ідеальні.
       • Якщо хтось насправді має ВІЛ, ймовірність позитивного тесту становить 0,95.

       Нехай Н позначають подію наявності ВІЛ, а Т – подія позитивного тесту.

       (а) Висловити інформацію, яка дається в задачі з точки зору подій H і T.

       • «кожна тисяча людей (0,001) всіх інфікованих ВІЛ» → Р (Н) = 0,001
       • «Якщо хтось насправді має ВІЛ, ймовірність позитивного тесту становить 0,95» → P (T | H) = 0,95

       (b) Використовуйте Загальне правило множення, щоб знайти ймовірність того, що хтось, обраний випадковим чином із населення, має ВІЛ та позитивні тести.

       (c) Якщо хтось має ВІЛ, яка ймовірність негативного тестування? Тут нам потрібно знайти P (НЕ T | H).

       • Правило доповнення працює з умовними ймовірностями до тих пір, поки ми умовимо одну і ту ж подію, отже:
       • Р (НЕ Т | Н) = 1 — П (Т | Н) = 1 — 0,95 = 0,05.

       Мета наступної діяльності – дати вам керовану практику вираження інформації з точки зору умовних ймовірностей, а також у використанні Загального правила множення.

       Підіб’ємо підсумки

       Цей розділ ознайомив вас з фундаментальними поняттями незалежних подій та умовної ймовірності — ймовірності події, враховуючи, що сталася інша подія.

       Ми бачили, що іноді знання про те, що сталася інша подія, не впливає на ймовірність (коли дві події незалежні), а іноді це відбувається (коли дві події не є незалежними).

       Далі ми обговорили ідею незалежності та обговорили різні способи перевірки, чи є дві події незалежними чи ні.

       Розуміння поняття умовної ймовірності також дозволило нам ввести наше остаточне правило ймовірності – Загальне правило множення.

       Загальне правило множення говорить нам, як знайти P (A і B), коли A і B не обов’язково незалежні.