Урок 6. Ділення натуральних чисел. Правила і компоненти дії ділення

Bankchart.com.ua розповідає, що таке ділення, як називаються числа при діленні, які основні властивості та правила ділення, чи можна ділити на 0. Крім того, ви дізнаєтесь, як знайти невідоме ділене та дільник, навчитесь швидко розв’язувати приклади і ділити на одноцифрові, багатоцифрові числа, вивчите таблиці ділення.

Путівник за статтею

УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСІХ

Що таке ділення?

Ділення – це арифметична дія, яка передбачає розрахунок кількості, скільки разів одне число міститься в другому числі.

Поділити число 700 на 14 означає знайти таке число x, при множенні якого на 14 отримаємо 700. Тобто, ділення є оберненою дією до множення. Адже при множенні є два співмножники і результат множення – добуток, при діленні ми знаходимо один зі співмножників шляхом ділення добутку на другий із співмножників.

Відповідно в буквеному виразі операцію ділення можна відобразити так:

Ділення числа а на число b означає пошук такого числа х, при множенні якого на число b отримаємо число а:

x⋅b = a; x = a : b

Компоненти дії ділення: ділене, дільник, частка. Знак ділення

Як називаються числа при діленні? Число, яке ділять, називається діленим; число, на яке ділять , називається дільником; число, яке утворюється в результаті ділення, називається часткою.

В нашому випадку a – ділене, b – дільник, x – частка.

700 : 14 = 50, тут 700 – ділене, 14 – дільник, 50 – частка.

Знак ділення – двокрапка (:), яка ставиться між діленим та дільником.

Виконати дію ділення натуральних чисел можливо не завжди. Наприклад, число 20 не ділиться на 8, адже нема такого натурального числа при якому 8 ⋅ х дорівнює 20.

Особливості ділення

Ділене рівне дільнику

Якщо ділене дорівнює дільнику, то частка дорівнює одиниці

Ділення на 1

При діленні на 1 частка дорівнює діленому.

Ділення 0 на число

Частка від ділення нуля на будь-яке число, відмінне від нуля, дорівнює нулю

Ділення на 0. Чи можна ділити на 0?

Правило: Ділити на 0 не можна

Чому не можна ділити на нуль? Розглянемо на прикладі 5 : 0 – нема такого числа x, при множенні якого на 0 отримали б результат 5. Адже x ⋅ 0 = 0 і не дорівнює 5. Крім того, не можна нуль ділити на нуль. Цифра 0 ніколи не можу бути дільником.

Закони, правила і властивості ділення

Ділення суми на число

При діленні суми на число достатньо поділити на це число кожний доданок окремо і знайдені частки додати.

Розглянемо дану властивість на прикладі:

(9 + 15) : 3 = 9:3 + 15:3 = 3 + 5 = 8

Ділення різниці на число

При діленні різниці на число достатньо окремо поділити на це число зменшуване і від’ємник, а потім від першої частки відняти другу.

(24 – 9) : 3 = 24:3 – 9:3 = 8 – 3 = 5

Ділення числа на добуток

При діленні числа на добуток достатньо поділити це число на перший множник, після цього знайдену частку треба поділити на другий множник, і знову знайдену частку поділити на третій співмножник і т.д.

Розв’яжемо приклад, використавши властивість ділення на добуток чисел: 560 : (2 ⋅4 ⋅ 7)

Спочатку поділимо 560 : 2 = 280

Після цього частку 280 поділимо на другий множник: 280 : 4 = 70

Ділимо отриману частку на третій співмножник: 70 : 7 = 10

Ділення добутку на число

При діленні добутку на число достатньо поділити на це число один співмножник, залишивши інші без змін.

Розв’яжемо приклад, де можна використати дану властивість. Необхідно поділити добуток чисел 25 ⋅ 16 ⋅10 на число 5

(25 ⋅ 16 ⋅ 10) : 5 = 25 : 5 ⋅ (16 ⋅ 10) = 5 ⋅ 160 = 800

Множення числа на частку

При множенні числа на частку достатньо помножити це число на ділене і знайдений добуток поділити на дільник.

9 ⋅ (100 : 4) = (9 ⋅ 100) : 4 = 900 : 4 = 225

Ділення числа на частку

Щоб поділити число на частку, достатньо поділити це число на ділене і знайдену частку помножити на дільник.

36 : (9 : 3) = (36 : 9) ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 12

Зміна добутку і частки

На прикладі дана властивість перевіряється так:

24 ⋅ 3 = 72 – зменшимо добуток і співмножники в 4 рази.

Приклад: 30 ⋅ 20 = 600, тоді (30 : 6) ⋅ (20 ⋅ 6) = 5 ⋅ 120 = 600

Приклад: 32 : 4 = 8, тоді (32 ⋅ 3) : 4 = 8 ⋅ 3, 96: 4 = 24

330 : 3 = 110, якщо (330 : 10) : 3 = 110 : 10, адже 33 : 3 = 11

81 : 9 =9, тоді 81 : (9 ⋅ 3) = 9 : 3

81 : 9 =9, тоді 81 : (9 : 3) = 9 ⋅ 3

Ця властивість відома як основна властивість частки. Розглянемо основну властивість частки на прикладах:

Як знайти ділене

Правило: Щоб знайти невідоме ділене, треба дільник помножити на частку

Наприклад, x : 6 = 3. Знайдемо невідоме ділене, використавши правило. x = 6 ⋅ 3 = 18

Як знайти невідомий дільник

Правило: Щоб знайти невідомий дільник, треба ділене поділити на частку

24 : x = 4. Щоб знайти x треба: 24 : 4 = 6.

Перевірка ділення множенням, діленням

Як і будь-яку іншу арифметичну дію, ділення можна перевірити. Ділення перевіряється множенням та діленням.

Перевірка множенням. Оскільки ділене є добутком, а дільник і частка – множниками, для перевірки правильності ділення необхідно помножити дільник на частку. Дія ділення вважається виконаною правильно, якщо в результаті отримаємо ділене.

Перевірка діленням. Для перевірки правильності ділення можна ділене поділити на частку. Якщо в результаті отримаємо дільник, то дія виконана правильно.

Способи швидкого ділення

Щоб поділити число на 5, достатньо помножити його на 2 і поділити на 10

Щоб поділити число на 25, достатньо помножити його на 4 і поділити на 100

Щоб поділити число на 125, достатньо помножити його на 8 і поділити на 1000

485 : 5 = 97 оскільки 485 ⋅ 2 : 10 = 97

1575 : 25 = 63 оскільки 1575 ⋅ 4 : 100 = 63

Використання властивостей ділення

42 ⋅ 24 : 4 = 42 ⋅ (24 : 4) = 42 ⋅ 6 = 252

28 ⋅ 125 : 14 = (28 : 14) ⋅ 125 = 2 ⋅ 125 = 250

Нульове число (0)

Нуль – це число, яке використовується в математиці для опису кількості чи нульової величини.

Коли на столі лежать 2 яблука, і ми беремо 2 яблука, можна сказати, що на столі нуль яблук.

Нульове число не є додатним чи не від’ємним числом.

Нуль – це також цифра-заповнювач в інших числах (наприклад: 40,103, 170).

Нуль – це число?

Нуль – це число. Це не позитивне, ані негативне число.

Нульова цифра

Нульова цифра використовується як заповнювач під час запису цифр.

Історія нульового числа

Хто винайшов нульове число?

Сучасний символ 0 був винайдений в Індії в 6 столітті, пізніше використовувався персами та арабами, а потім і в Європі.

Символ нуля

Нульове число позначається символом 0 .

В арабській цифровій системі використовується символ ٠.

Властивості нульового числа

x являє собою будь-яке число.

Урок 25. Ділення десяткових дробів. Правила, приклади, задачі

Bankchart.com.ua розказує, як правильно поділити десятковий дріб на десятковий дріб в стовпчик, на ціле натуральне число, на звичайні дроби і мішані числа. Крім того, на уроці математики ми розв’яжемо приклади і задачі на ділення десяткових дробів на числа 0,1, 0,01, 10, 100, 1000 і т.д.

Путівник за статтею

1. Як поділити десятковий дріб на десятковий дріб?
2. Ділення десяткових дробів на натуральне число
3. Ділення скінченого десяткового дробу на дріб стовпчиком
4. Ділення десяткового дробу на числа 10, 100, 1000 і т.д.
5. Ділення десяткового дробу на 0,1, 0,01, 0,001 і т.д.
6. Ділення цілого натурального числа на десятковий дріб
7. Ділення мішаного числа, звичайного дробу на десятковий дріб і навпаки
8. Задачі на ділення десяткових дробів
9. Калькулятор переведення чисел у десятковий дріб
10. Калькулятор переведення десяткового дробу у відсотки
11. Вирішення дробів на калькуляторах

УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСІХ

Як поділити десятковий дріб на десятковий дріб?

Оскільки скінчені десяткові дроби є особливою формою запису звичайних дробів, тому алгоритм ділення десяткових дробів передбачає їх перетворення на звичайні дроби з подальшим діленням згідно правила ділення звичайних дробів.

Приклад. Поділити десятковий дріб 1,2 на 0,48

Розпочнемо з перетворення діленого і дільника у звичайні дроби:

Тепер поділимо згідно правила ділення звичайних дробів:

В результаті ми отримали в частці неправильний дріб 5/2 – його можна перетворити у мішане число:

Ділення десяткових дробів на натуральне число

Перший спосіб: перетворення десяткового дробу у звичайний

Щоб поділити десятковий дріб на натуральне число, треба перетворити його у звичайний дріб і виконати ділення згідно правила ділення звичайних дробів на цілі числа.

Приклад. Виконати ділення десяткового дробу 2,5 на число 45

Перетворимо число 2,5 у звичайний дріб:

Поділимо звичайний дріб на натуральне число:

Другий спосіб: ділення десяткових дробів на натуральне число у стовпчик

Ділення десяткового дробу на натуральне число у стовпчик виконується за правилом ділення натуральних чисел у стовпчик. Отримані залишки перетворюють в десяткові частки все менші і менші, виконуючи ділення до цього часу, поки в залишку не отримають нуль.

При необхідності до діленого справа можна дописати потрібну кількість нулів. Після закінчення ділення цілої частини в частці треба поставити кому.

Приклад. Знайти частку від ділення 44,35 на 5

Розпочинаємо з ділення цілої частини: 44 поділити на 8 = 5 записуємо в частку і ставимо кому, оскільки ділення цілої частини дробу завершено. Остачу 4 роздробляємо в десяті і зносимо 3 десятих з діленого, отримаємо 43 десятих. Тепер 43 ділимо на 5, в частку записуємо 8, в остачі – 3. Остачу 3 роздробляємо на 3 сотих і зносимо 5 з діленого, отримаємо 35 сотих. Далі 35 сотих ділимо на 5, отримаємо 7 в частці, остача – 0. Отже, ділення завершено

Приклад. Знайти частку від ділення десяткового дробу 105,624 на 8

Приклад. Знайти частку від ділення десяткового дробу 25,56 на 71

На цьому прикладі бачимо, якщо ціла частина діленого менша за дільник, то в частці отримаємо 0 цілих.

Приклад. Знайти частку від ділення десяткового дробу 36,12 на 8

Даний приклад цікавий тим, що при завершенні ділення отримали в остачі 4 сотих. Щоб закінчити ділення, роздроблюємо 4 в тисячні, дописавши до 4 цифру 0 (оскільки ділене не містить тисячних). Отримали 40 тисячних, які ділимо на 8, отримаємо в частці 5 тисячних, а в залишку 0, що говорить про закінчення ділення.

Приклад. Поділити дріб 13,58 на 4

Ділення скінченого десяткового дробу на дріб стовпчиком

Таке ділення можна звести до ділення скінченного десяткового дробу на натуральне число, помноживши ділене і дільник на 10, 100 і т.д. так, щоб дільник перетворився в ціле число.

Тобто алгоритм ділення скінченого десяткового дробу на дріб виглядає так:

1. Переносимо кому в діленому і дільнику на однакову кількість знаків, щоб дільник перетворився на ціле число
2. Якщо в діленому не вистачає знаків, дописуємо потрібну кількість нулів справа
3. Ділимо дріб на натуральне число

Приклад. Знайти частку від ділення дробів 12,096 і 2,24 в стовпчик

Щоб перетворити ділене (2,24) в ціле число, перенесемо кому в діленому і дільнику на 2 знаки. Таким чином, нам треба поділити 1209,6 на 224:

Приклад. Поділити 4,5 на 0,125

Щоб отримати ділення дробу на ціле число, треба перенести кому вправо на 3 знаки в діленому і дільнику. Оскільки в діленому 4,5 лише 1 знак після коми, допишемо 2 нулі справа – отримаємо ділене 4500, дільник 125:

Ділення десяткового дробу на числа 10, 100, 1000 і т.д.

Щоб поділити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т.д., треба в діленому перенести кому вліво на 1, 2, 3 і т.д. знаків. При нестачі відповідної кількості знаків в діленому, варто його доповнити потрібною кількістю нулів зліва.

Приклад. Поділити 3500,8 на 1000

При діленні на 1000 треба в діленому перенести кому вліво на 3 знаки.

Приклад. Знайти частку від ділення 3,27 на 100

Для того щоб поділити на 100, треба перенести кому в дробі 3,27 на 2 знаки вліво. Оскільки в дробі 3,27 лише 1 знак, допишемо нулі зліва.

Ділення десяткового дробу на 0,1, 0,01, 0,001 і т.д.

Щоб поділити десятковий дріб на 0,1, 0,01, 0,001 і т.д., треба в діленому перенести кому вправо на 1, 2, 3 і т.д. знаків. При нестачі відповідної кількості знаків в діленому, варто його доповнити потрібною кількістю нулів справа.

Ділення цілого натурального числа на десятковий дріб

Щоб поділити ціле число на десятковий дріб, треба перетворити десятковий дріб на ціле число, перенісши кому на потрібну кількість знаків. В таку ж кількість разів треба збільшити ділене, дописавши таку ж кількість нулів в ньому, на скільки знаків перенесли кому в дільнику.

Після цього виконати ділення за правилом ділення натуральних чисел.

Приклад. Розділити 56 на 1,4

Щоб перетворити 1,4 на ціле число, потрібно перенести кому вправо на 1 знак. Тобто ділене потрібно збільшити в 10 разів, отримаємо ділене 560.

Ділення мішаного числа, звичайного дробу на десятковий дріб і навпаки

Щоб поділити мішане число на десятковий дріб, треба мішане число перетворити у неправильний дріб, а десятковий – у звичайний дріб. Після цього треба поділити звичайні дроби.

Приклад. Знайти значення виразу:

В перших дужках варто звести всі компоненти до звичайних дробів, адже дріб 1/6 не можна перетворити в скінченний десятковий дріб:

Дріб 80/3 також неможливо перетворити в скінченний десятковий, тому перетворимо 6,4 в звичайний дріб і виконаємо ділення:

Приклад. Знайти значення виразу:

Порядок розв’язання буде наступним:

Задачі на ділення десяткових дробів

Задача. Ірина купила 4 кг груш за 56,16 грн. Скільки коштує 1 кг груш?

Щоб знайти ціну 1 кг груш, треба 56,16 : 4

Відповідь: 1 кг груш коштує 14,04 грн.

Задача. Назар проїхав на велосипеді за 3 дні 8,31 км. Скільки км в день проїжджав хлопець, якщо відомо, що кожного дня він долав однакову відстань.

Щоб знайти відстань за 1 день, треба 8,31 : 3

Відповідь: 2,77 км в день проїхав Назар