§ 1. Числові ряди. Збіжність числового ряду.

2. Суму перших n членів ряду (1) називають n-ю частковою сумою ряду і позначають , тобто :

Часткові суми числового ряду (1) утворюють нескінченну числову послідовність

3. Якщо послідовність (4) часткових сум числового ряду (1) має скінченну границю при , тобто

то кажуть, що ряд (1) збіжний, а число S називають сумою ряду (1).

Якщо ж послідовність (4) не має скінченної границі при , то кажуть, що ряд (1) розбіжний. В цьому випадку не варто говорити про суму ряду.

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язання. Заданий ряд є сумою членів геометричної прогресії з першим членом і знаменником . Відомо, що сума n перших членів геометричної прогресії обчисляється за формулою . Таким чином n-а часткова сума заданого ряду матиме вигляд:

При послідовність часткових сум заданого ряду має скінчену границю:

Отже, заданий ряд збіжний його сума S=4,5.

Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд

Розв’язання. Заданий ряд є сумою членів арифметичної прогресію з першим членом і різницею . Відомо, що сума n перших членів арифметичної прогресію обчислюється за формулою . Таким чином n-a часткова сума заданого ряду матиме вигляд :

При послідовність часткових сум заданого ряду не має скінченної границі:

Отже, заданий ряд розбіжний.

4. Властивості збіжних рядів:

1. Якщо ряд збіжний і має суму S, a – стала, то ряд теж збіжний і має суму CS.
2. Якщо ряд збіжний і має суму , а ряд збіжний і має суму , то ряд теж збіжний і має суму .
3. Ряд, утворений шляхом відкидання або дописування будь-якого скінченного числа членів до збіжного ряду, теж буде збіжним.

§2. Ознаки збіжності числових рядів

1. при , цей ряд збіжний;
2. при , цей ряд розбіжний;
3. при , цей ряд може бути як збіжним, так і розбіжним, в такому разі слід скористатися іншими ознаками збіжності рядів.

1. Нехай p=1. Тоді ми отримаємо гармонійний ряд, який є розбіжним (див. приклад 9).
2. Нехай p>1 . Розглянемо невласний інтеграл:

1. Нехай p < 1. Розглянемо невласний інтеграл:

1. при k < 1, цей ряд збіжний;
2. при k > 1, цей ряд розбіжний;
3. при k = 0, цей ряд може бути як збіжним, так і розбіжним, в такому разі слід скористатися іншими ознаками збіжності рядів.

1. Числова послідовність. Числові ряди. Збіжність ряду, його сума. Необхідна умова збіжності. Властивості збіжних рядів

Ряд називається збіжним, якщо йогоn – а частинна сума при нескінченому зростанніn має кінцеву границю, тобто, якщо ЧислоS називають сумою ряду. Якщо при n – а частинна сума ряду не прямує до кінцевої границі, то ряд називають розбіжним.

Ряд, що складається із членів будь-якої спадної геометричної прогресії

Так званий гармонійний ряд розбігається.

Сформулюємо основні теореми про числові ряди:

Якщо збігається ряд , то збігається і ряд

, що складається із членів даного ряду, починаючи з

(m + 1) – ого. Цей останній ряд називають залишком даного ряду. І навпаки: із збіжності ряду випливає збіжність ряду

Якщо збігається ряд і його сума дорівнює

, то збігається і ряд , причому його сума дорівнює

відповідно із сумами S і , то збігається ряд

, причому сумою останнього ряду буде S + .

тобто при границя загального члена ряду дорівнює нулю (необхідна умова збіжності).

Виконання необхідної умови збіжності не є достатнім. Таким чином, якщо необхідна умова збіжності не виконується, констатуємо розбіжність ряду, а якщо виконується, – проводимо додаткове дослідження, перевіряючи виконання, так званих, достатніх умов збіжності (див. Тему 2).

Приклад. Обчислити суму ряду .

Запишемо частинні суми ряду у вигляді, зручному для подальшого граничного переходу.

Після розкривання дужок одержуємо досить простий вираз для частинної суми:

Таким чином, ряд збігається, а його сума дорівнює 1.

Зауважимо, що знаходження сум ряду за визначенням, тобто за допомогою границі послідовності частинних сум, дуже непроста задача, розв’зання якої, взагалі кажучи, суттєво залежить від того, у якому вигляді задається конкретний ряд. З іншого боку, при розгляді великої кількості проблем дослідника може цікавити лише питання збіжності або розбіжності ряду, а не сама його сума. Тому дослідження збіжності відбувається за допомогою спеціальної теорії (див. Тему 2), а сума ряду, якщо її обчислення виявляється важким за визначенням, знаходиться наближено. (Останнє питання не входить у коло проблем, що розглядаються у даних методичних вказівках).

Запитання для самоперевірки

Що таке числова послідовність, границя послідовності?

Що називається числовим рядом, членами ряду, сумою ряду, залишком ряду?

Збіжність найпростіших числових рядів: спадна геометрична прогресія, гармонічний ряд.

Необхідна умова збіжності. Яке співвідношення задає цю умову?

Записати для наведених нижче рядів, якщо відомі декілька їх перших членів:

Записати 4 – 5 перших членів ряду, якщо відомо загальний член

3. Переконатись в розбіжності ряду, застосовуючи необхідну ознаку збіжності:

2. РЯДИ З ДОДАТНИМИ ЧЛЕНАМИ. ОЗНАКИ ПОРІВНЯННЯ . ОЗНАКИ ДАЛАМБЕРА І КОШІ. ІНТЕГРАЛЬНА ОЗНАКА КОШІ-МАКЛОРЕНА

Сформулюємо найважливіші ознаки збіжності і розбіжності рядів із додатними членами.

Теорема. Нехай два ряди з додатними членами. Тоді:

якщо , то із збіжності ряду випливає збіжність ряду

а із розбіжності ряду – розбіжність ряду ;

якщо >0, то обидва ряди збіжні або розбіжні одночасно.

При дослідженні рядів на збіжність користуються, так званими, “еталонними” рядами, тобто рядами збіжність або розбіжність яких завчасно відома. З цією метою часто використовують такі ряди, як

До речі, останній ряд збіжний при і розбіжний при

Приклади. Дослідити збіжність рядів:

1. Скористаємось ознакою порівняння. Порівняємо даний ряд із гармонійним: Так як виконується нерівність ,

досліджуваний ряд розбіжний.

Для порівняння вибираємо нескінченно спадну геометричну прогресію зі знаменником . Так як виконується нерівність , то досліджуваний ряд збіжний.

3. Для порівняння вибираємо ряд

. Скористаємось теоремою порівняння: Так як ряд – збіжний, то і даний ряд збігається.

Збіжність ряду з додатними членами , досліджується також за допомогою інших ознак збіжності.

Ознака Даламбера. Якщо існує скінчена границя то приl 1 ряд збіжний, приl > 1 ряд розбіжний, при l = 1 ознака не дає відповіді про збіжність чи розбіжність ряду і потрібні додаткові дослідження.

Скористаємось ознакою Даламбера.

Застосуємо ознаку Даламбера.

Ознака Даламбера не дає відповіді на питання про збіжність ряду. У даному

разі більш ефективно буде діяти ознака порівняння. Отже порівняємо даний

ряд із збіжним рядом За теоремою порівняння:

Таким чином, даний ряд збіжний.

Радикальна ознака Коші. Нехай ( ) і Тоді ряд збіжний, якщо і розбіжний, якщо . У випадку, якщо питання про збіжність ряду залишається відкритим.

Приклад. Дослідити збіжність ряду .

Оскільки то даний ряд збіжний.

Інтегральна ознака Коші – Маклорена. Якщо при додатна, монотонно спадна і неперервна, то

ряд , де збігається або розбігається у залежності від того, чи є невласний інтеграл збіжним або розбіжним.

Приклад. Дослідити збіжність ряду

Функція додатна, монотонно спадна в неперервна на проміжку . Дослідимо інтеграл

Таким чином, невласний інтеграл збіжний. Тобто за інтегральною ознакою Коші – Маклорена даний ряд також є збіжний.

При дослідженні збіжності числового ряду з додатними членами треба

вміло підбирати відповідну ознаку. Рекомендується починати дослідження з перевірки виконання необхідної умови збіжності ряду. Якщо необхідна умова збіжності ряду не виконується, ряд розбігається. Якщо вона виконується, треба обов’язково перевірити, чи виконуються достатні умови, тобто використати або ознаку порівняння, або ознаку Даламбера, або радикальну ознаку Коші, або інтегральну ознаку Коші – Маклорена. Найпростіша з цих ознак – ознака Даламбера. У випадку, коли ця ознака не працює, треба подивитись, чи можливо підібрати ряд для порівняння. Це може бути знайомий ряд (наприклад, сума нескінченно спадної геометричної прогресії, гармонійний ряд і т.и.), або ряд, який дослідити легше, ніж даний. Якщо легко знайти корінь ступеня n із , бажано використати радикальну ознаку Коші. Якщо ви можете легко інтегрувати , як функціюn, то найкращий вибір – це інтегральна ознака Коші – Маклорена.