Зміст:
✅Косинус в квадраті і синус в квадраті
Розбираємося з простими поняттями: синус і косинус та обчислення косинуса в квадраті і синуса в квадраті.
Синус і косинус вивчаються в тригонометрії (науці про трикутники з прямим кутом).
Тому для початку згадаємо основні поняття прямокутного трикутника:
- Гіпотенуза – сторона, яка завжди лежить навпроти прямого кута (кута в 90 градусів). Гіпотенуза – це найдовша сторона трикутника з прямим кутом.
Решта дві сторони в прямокутному трикутнику називаються катетами.
Також слід пам’ятати, що три кути в трикутнику завжди мають суму в 180 °.
Тепер переходимо до косинусу і синусу кута альфа (∠α) (так можна назвати будь-який непрямий кут в трикутнику або використовувати в якості позначення ікс – «x», що не змінює суті).
Синус кута альфа (sin ∠α) – це відношення протилежного катета (сторона, що лежить навпроти відповідного кута) до гіпотенузи. Якщо дивитися по малюнку, то sin ∠ABC = AC / BC
Косинус кута альфа (cos ∠α) – відношення прилеглого до кута катета до гіпотенузи. Якщо знову дивитися по малюнку вище, то cos ∠ABC = AB / BC
І просто для нагадування: косинус і синус ніколи не будуть більші за одиницю, оскільки будь-який котить коротше гіпотенузи (а гіпотенуза – це найдовша сторона будь-якого трикутника, адже найдовша сторона розташована навпроти найбільшого кута в трикутнику).
Косинус в квадраті, синус в квадраті
Тепер переходимо до основних тригонометричним формул: обчислення косинуса в квадраті і синуса в квадраті.
Для їх обчислення слід запам’ятати основне тригонометричну тотожність:
sin 2 α + cos 2 α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного кута завжди дорівнюють одиниці).
З тригонометричної тотожності робимо висновки про синус:
або більш складний варіант формули: синус квадрат альфа дорівнює одиниці мінус косинус подвійного кута альфа і все це ділити на два.
З тригонометричної тотожності робимо висновки про косинус:
або більш складний варіант формули: косинус квадрат альфа дорівнює одиниці плюс косинус подвійного кута альфа і також ділимо все на два.
Ці дві складніші формули синуса в квадраті і косинуса в квадраті називають ще «зниження ступеня для квадратів тригонометричних функцій». Тобто була другий ступінь, понизили до першої та обчислення стали зручніше.
Таблиця з поясненнями на тему “Косинус в квадраті і синус в квадраті”
| Термін | Опис | Формули та Цікаві Факти |
|---|---|---|
| Косинус в квадраті (cos²) | Квадрат значення косинуса кута θ. | cos² = (cos )². Це не дорівнює cos(²). В тригонометрії часто використовується у формулі косинуса двох кутів: cos²θ = 1/2(1 + cos2). |
| Синус в квадраті (sin²) | Квадрат значення синуса кута θ. | sin² = (sin)². Як і в випадку з косинусом, це не те ж саме, що sin(²). Синус в квадраті використовується в ідентичності: sin² = 1/2(1 – cos2). |
| Основна тригонометрична ідентичність | Пов’язує косинус і синус кута. | cos² + sin² = 1. Ця ідентичність є основною у тригонометрії і використовується для перетворення рівнянь. |
| Застосування | Використовуються в різних галузях, включаючи фізику, інженерію, архітектуру. | Косинус і синус в квадраті застосовуються для розрахунку довжин, кутів, площ у різних геометричних та фізичних задачах. |
| Графічне представлення | Графіки функцій cos² і sin² відрізняються від звичайних косинуса і синуса. | Графіки виглядають як модифіковані хвилі, які не опускаються нижче нуля, оскільки квадрат завжди позитивний. |
Висновок
Функції косинуса та синуса в квадраті відіграють важливу роль у тригонометрії та їх застосуваннях. Основна тригонометрична ідентичність, що зв’язує ці дві функції, є ключовою для багатьох тригонометричних перетворень і розрахунків. Знання та розуміння цих концепцій є невід’ємною частиною основ математики та фізики.
Произведение синусов и косинусов
Формула произведения косинуса, синуса используется в школьной алгебре для обучения школьников, а также в математическом анализе в расчетах.
В этой статье разберем важные формулы для понятия тригонометрии: умножение косинусов и синусов, другие формулы, связанные с произведением двух алгебраических функций.
Теоремы умножения синусов и косинусов для α и β помогают превратиться из произведения в разность, сумму других углов.
Появилась необходимость, чтобы найти произведение косинусов, синусов углов α и , поэтому стоит изучить данную статью.
Данные формулы помогают преобразовать выражение от произведения к разности, сумме синусов и косинусов α−β и α+β.
Рассмотрим и выведем формулы синуса на синус, произведение синусов и косинусов. Также ниже разберем примерные задания с использованием формул.
Тригонометрические формулы произведения
Рассмотрим формулировки, формулы произведений. В независимости какими значениями обладают углы α и β или какие греческие буквы используются вместо обозначений α и β, применяются данные формулы и вычисляют с помощью них.
Произведение синусов формула
Произведение sin угла α и sin угла β будет равно половине разности косинуса угла (α−β) и (α+β).
Произведение косинусов формула
Произведение cos угла α и cos угла β равно половине сумме косинуса угла (α-β) и (α+β).
Произведение синусов и косинусов формулы
Произведение синуса угла α на косинус угла β равно половине сумме синуса угла (α-β) и синуса угла (α+β).
Выведение тригонометрических формул
Для выведения формул, которые расположены выше, используется формулы сложения функций cos и sin, а также свойства равенства. В свойстве подразумевается, что если просуммировать правую и левую часть правильного равенства с другим таким же верным равенством, образуется новое правильное равенство.
Произведение косинусов
Приведем подробный вывод изучаемых формул
Для этого возьмем формулы косинуса разности и суммы:
Далее, с каждой стороны проведем сложение двух формул. Получается следующее:
\[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta+\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta\]
Одинаковые слагаемые складываем: \[\cos \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \cos \beta=2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta\]
Разноименные слагаемые отнимаем: \[-\sin \alpha \cdot \sin \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta=0\]
Следовательно, \[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta\]
В данном равенстве делим правую, левую часть на 2 , меняем местами слагаемые.
Получается следующее выражение \[\cos \alpha \cdot \cos \beta=\frac(\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta))\]
Мы доказали формулу умножения cos одного угла на cos другого угла.
Произведение синусов
Теперь докажем следующую. Распишем формулу суммы косинусов так:
Прибавим к данному равенству \[\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta\]
Слагаемые одноименными знаками и функциями сложим, разноименные — вычтем, преобразуем выражение:
\[-\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=-\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta+\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta-\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=2 \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta\]
В данном равенстве делим правую, левую часть на 2, меняем местами слагаемые.
Мы вывели формулу умножения синуса одного аргумента на синус другого аргумента.
Произведение синуса на косинус
Сделаем вывод формулы произведения синуса и косинуса разных аргументов. Теперь воспользуемся формулой суммы и разности функций sin. Складываем и правую, и левую часть выражений:
\[\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta+\sin \alpha \cdot \cos \beta-\cos \alpha \cdot \sin \beta\]
Слагаемые одноименными знаками и функциями сложим, разноименные — вычтем, преобразуем выражение:
В данном равенстве делим правую, левую часть на 2 , меняем местами слагаемые.
Мы вывели формулу произведения синуса на косинус.
Примеры задач
Рассмотрим и решим задания с применением формул произведения косинусов (cos), синусов (sin), синусов на косинусы (cos и sin). Произведение синуса и косинуса примеры решения рассматриваются для того, чтобы ясно представлять использование данных формул для определенных углов.
Сначала сделаем проверку на справедливость формулы умножение функции sin одного угла на sin другого угла.
Пусть углы будут равны: α=60°,β=30°.
Используем выведенную формулу синусов, и в нее подставим предоставленные значения из нашего задания:
Подставим конкретные значения из таблицы тригонометрических функций и вычислим, запишем ответ:
Таким образом, сделали проверку выведенной формулы на практике, а также стало ясно, что она верна.
Нет времени решать самому?